標準器の精度について

相互比較による校正において、上位の標準器の精度（精密さσs）は、比較校正される下位の標準器（又は計測器）の精度（精密さσM）の 1/√10（≒1/3.16） 程度に選ぶ。
両者の精度がこのような関係にあるとき、上位の標準器が下位の標準器（又は計測器）の校正 精度に及ぼす影響度は、誤差合成法則から約 5%と見積られ、その影響度を無視することが許される（後記）
トレーサビリティ体系における各（測定）標準の精度に関して、直近上位（父と子の間）の精 度（精密さ）が 1/√10 ということは、２階級差（祖父と孫の間）では 1/10、つまり、1 けた高い精度（精密さ）にするということである。この考え方は、トレーサビリティ体系の精度的な破 締を防止する意味でも必要なことであり、また、機器の高精度化に伴って、取扱いがデリケート になり、かつ、高価格化するから、“ほどほど”の精度（精密さ）を志向するのが賢明である。

[注] ＯＩＭＬ（国際法定計量機関）の国際勧告Ｒ111（精密分銅）に定めるＯＩＭＬ分銅
の精度等級・最大許容誤差は下表のとおりであり、国際的にも共通の考え方 1/√10 方式） が採用されている。

表す質量	ＯＩＭＬ
Ｅ１級	
Ｅ２級	
Ｆ１級	Ｆ２級	Ｍ１級	
Ｍ２級	

	計量法		基準分銅（実用基準分銅）
特 級	一 級	二 級	
三 級	
１ｇ ２ ５
１０ ２０ ５０ １００ ２００
５００	０．０１０ ０．０１２ ０．０１５ ０．０２０ ０．０２５ ０．０３０ ０．０５ ０．１０
０．２５	０．０３０ ０．０４０ ０．０５０ ０．０６０ ０．０８０ ０．１０ ０．１５ ０．３０
０．７５	０．１０ ０．１２ ０．１５ ０．２０ ０．２５ ０．３０ ０．５ １．０
２．５	０．３ ０．４ ０．５ ０．６ ０．８ １．０ １．５ ３．０
７．５	１．０ １．２ １．５ ２．０ ２．５ ３．０ ５
１０ ２５	３ｍｇ ４
５ ６ ８ １０ １５ ３０
７５	
１ｋｇ ２
５ １０
２０	０．５㎎１．０ ２．５ ５
１０	１．５㎎３．０ ７．５
１５
３０	５㎎１０ ２５ ５０
１００	１５㎎３０ ７５
１５０
３００	５０㎎１００ ２５０ ５００
１ ｇ	１５０ｍｇ ３００ ７５０
１．５ｇ
３	
[備考]表中に計量法の基準分銅・基準器公差との対応関係を示す。

誤差合成法則
間接測定（測定量と一定の関係にある幾つかの量について測定を行って、それから測定値を導 き出すこと。（[JIS Z 8103:2000(計測用語)]）の場合には、誤差合成（伝播）法則を適用して間接測定量の測定誤差を評価する。
表２に２変数関数形の間接測定量の場合についての誤差合成法則を示す。

表２ 誤差合成法則（２変数関数形の場合）
系 統 誤 差	偶 然 誤 差	
関数形をＹ＝Ｆ(Ｘ１，Ｘ２)として、
ΔＹ＝ Ｆ ΔＸ ＋ Ｆ ΔＸ
Ｘ	１ Ｘ	２
１	２
ΔＹ ：間接測定量Ｙの系統誤差
ΔＸ１，ΔＸ２：間接測定量Ｘ１，Ｘ２の系統誤差	分散の場合（加法性）
σ ２＝（ Ｆ ）２σ２＋（ Ｆ ）２σ２ Ｙ	Ｘ	１	Ｘ	２
１	２
標準偏差の場合（二乗和平方根方式）
σ ２＝ （[   Ｆ ）２σ２＋（ Ｆ ）２σ２]
Ｙ	Ｘ	１	Ｘ		２ １			２
σＹ：間接測定量Ｙの標準偏差σ１，σ２：間接測定量Ｘ１，Ｘ２の標準偏差	
[注]1．関数Ｙ＝Ｆ(Ｘ１，Ｘ２)において、ＹのＸ１に関する偏微分は、他の変数Ｘ２を定数と みなし、ＹをＸ１に関する１変数関数として微分することで定義される。ＹのＸ２に 関する偏微分も同様である。すなわち、

Ｆ , Ｆ は、それぞれ、ＹのＸ

，Ｘ に関する偏微分係数である。



Ｘ１

１	２
Ｘ２

2．多(ｎ)変数関数形の場合は、部分誤差を表す項の数が２個からｎ個に増えるだけで、 式の形は同じである。

誤差合成法則は、上記のように偏微分係数を含む式で表されるのでなじみにくい面があるが、 特に、ばらつきに関する誤差合成法則（“分散の加法性”）は、間接測定における偶然誤差の評価の場合でけでなく、分散分析などの統計的方法の基礎として重要である。ここでは、本来の意味の間接測定ではないが、計量管理の実務への応用の観点から選んだ若干の適用例を以下に示す。
［誤差合成法則の適用例］ 例１．平均値の標準偏差：
同一の量Ｘをｎ回測定したときの平均値Ｘ は、

Ｘ  １

１	１	１

 （Ｘ１  Ｘ２ ・・Ｘｎ）	Ｘ１ 	Ｘ２ ・・ Ｘｎ	であるから、
ｎ	ｎ	ｎ	ｎ
σ ２  １ ２	２	２	２
“分散の加法性”により、 Ｘ   （  ）（σ１  σ２  ・・σｎ ）
ｎ
上式に、σ１＝σ２＝・・σｎ＝σの関係（同一母集団の条件）を入れて、
σ ２  １ ２	１ ２	１
Ｘ  （ ）・ｎσ   σ	σ       ・σ
ｎ	ｎ	Ｘ	ｎ

Ｘ

すなわち、平均値の標準偏差σ は、個々の測定値の標準偏差σの

１ 倍になる。

ｎ

このことは、計量管理を行う上で非常に有用であり、測定回数(n)を増やし平均                                                                                                                                                  値を採用することによって測定結果の精度（精密さ）を向上させることができる。

［誤差合成法則の適用例(続き)］ 例２． 計量器の器差検査：
器差Ｙは、Ｙ＝Ｘ１－Ｘ２
ここに、Ｘ１：計量器(受検器)の表示値、Ｘ２：基準器の表示値。器差Ｙの値のばらつきσＹは、誤差合成法則(“標準偏差”の場合)により、

１	２

σＹ＝√(σ ２＋σ ２) で与えられる。
ここに、σ１，σ２はＸ１，Ｘ２の各ばらつき。
いま、両者の関係がσ２/σ１＝1/√10 であれば、上式は、σＹ≒1.05σ１
となり、基準器が計量器の器差検査の精度(精密さ)に及ぼす影響度は約 5%ということになる。

例３． 累積測定の誤差評価：
巻尺(10 m)の継ぎ足し使用による長さの測定(走行距離 100 m の設定)、
枕型鉄分銅(20 kg)の複数個使用による基準質量の設定(100 kg 台秤の器差検査)、ばね式指示はかり(2 kg)の複数回使用による質量の測定(10 kg 袋詰め作業)、
全量フラスコ(10 l)の繰返し使用による体積の測定(水道メーター用 500 l 基準タンクの器差検査)、
などの累積測定の場合は、
Ｙ±σＹ＝(Ｘ１＋Ｘ２＋・・＋Ｘｎ) ±√（σ１２＋σ２２＋・・σｎ２） ここに、Ｙ，σＹ：累積測定値，同標準偏差、
Ｘｉ，σｉ：各単一測定値，同標準偏差。
上式に、Ｘ１＝Ｘ２＝・・＝Ｘｎ＝Ｘ及びσ１＝σ２＝・・＝σｎ＝σの関係を入れれば、Ｙ±σＹ＝ｎＸ±√ｎ・σ
となる。  すなわち、σ１，σ２，・・，σｎ  のすべてが同一符号をとる確立は極めて小さく、通常は、まちまちの符号をとり相殺し合うから、累積測定値Ｙの標準偏差 (累積誤差)σＹは、ｎσにならずに、√ｎ・σになることが期待される。